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Ganzrationale Funktion


Dm3atZeyneb
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#bismillah# liebe Geschwister,

 

ich habe da einige Probleme und hoffe jemand kann mir dabei ein bisschen auf die Sprünge helfen, vielen Dank schon einmal:

 

A) Nullstellen:

 

 

1- warum und wann immer polynomdivison?

 

 

-f(x)= (x+2)/ (x^3 +8) D=R / (-2)

 

Polynomdivision: (x^3 +8 ) : (x+2) = x^2 -2x +4 falsch herum?? Vergl. Zähler und Nenner!

 

Also

 

 

-f(x)= 1/ (x^2 -2x +4 ) : Mitternachtsformelàkeine Lösung

 

 

also f(x) = (x+2) / (x^3 +8) = 1/ (x^2 -2x +4 ) D= R / (-2) was hat das nun für eine Bedeutung?

 

 

keine Polstellen, keine Nullstellen

 

 

 

 

B) Verhalten für IxI -> oo (unendlich)

 

 

2) f (x)= (x^2) / (3x -6)

 

durch polynomdivision: = (1/3)x + (2/ 3) + (4 /( 3x -6))

 

 

àalso ist die schiefe Asymptote y = (1/3)x + (2/ 3) was ist mit dem Rest?? Also + (4 /( 3x -6)) ? wieso wird das ignoriert?

 

 

3) f(x) = 3x -2 + (5/ (x-1))

 

 

wieso gibt es hier eine schiefe Asymptote mit y = 3x -2

 

 

4) f(x) = (x^2 -1) / x

 

 

folgendes steht hier:

 

lim (f(x) –x) = 0

 

IxI -> 00

 

 

Also wieso man auf das x kommt, kann ich mir so vorstellen: man kürzt x aus f(x) raus und dann bleibt =x – (1/x) übrig, 1/x läuft gegen null also bleibt der grenzwert x übrig, richtig?

 

 

Warum macht man das aber..ich meine, was ist der Sinn des ganzen….?

 

 

5) f(x) = -2 / (x- 4 )

 

 

durch untersuchen (Asymptoten,…) sehe ich dass es keine schnittpunkte mit der x- Achse hat. Kann man das aber auch ausrechnen? f( x) gleich null setzen? Das wäre aber nullstellenberechnung…

 

#salam#

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Mariam Al-Azraa

#bismillah#

#salam#

 

A) Nullstellen:

 

1- warum und wann immer polynomdivison?

 

 

-f(x)= (x+2)/ (x^3 +8) D=R / (-2)

 

Polynomdivision: (x^3 +8 ) : (x+2) = x^2 -2x +4 falsch herum?? Vergl. Zähler und Nenner!

 

Ich nehme mir mal kurz das erste heraus. Die weiteren Dinge müsste ich etwas auffrischen, insha'Allah.

 

Die Polynomdivision führst du in der Regel durch, um Nullstellen zu errechnen, und zwar genau immer dann, wenn man eine Gleichung höheren Grades lösen möchte.

Du hast hier demnach eine Funktion dritten Grades. Da du schon einmal weißt, dass eine Nullstelle -2 ist (bei (x+2) kann x nur -2 sein, damit der Faktor 0 wird und damit die gesamte Gleichung), kannst du die Polynomdivision leicht durchführen.

Du musst daraufhin das x und das entgegengesetzte Vorzeichen als Dividenten nehmen.

 

(x³ + 0x² + 0x + 8) : (x + 2) = x² - 2x + 4

- (x³ + 2x²)

___________

(-2x² + 0x

- (-2x² - 4x)

__________

(4x + 8)

- (4x + 8)

__________

0

 

Und möchtest du nun weitere Nullstellen errechnen, verwendest du die p-q-Formel für (x² - 2x + 4).

 

#salam#

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#bismillah#

Salam ahslee,

 

Zu 3) Also du schaust dir einfach an, was mit den beiden Summanden für sehr große x passiert.

Dann siehst du, dass der zweite Summand 5/(x+1) für große x verschwindend klein wird, also wird er auf die gesamte Funktion f(x)

keinen großen Einfluss haben, weil 5/(x+1) gegen Null konvergiert

 

damit konvergiert die ganze Funktion gegen die neue Funktion g(x)=3x-2 und das ist eine Geradengleichung.

Also kann die Funktion durch eine Gerade (=schiefe Asymptote) angenähert werden.

 

Zu 4) Du weißt dass limx=oo

Damit lim(f(x)-x)=0 ist, muss limf(x) auch unendlich sein.

 

Zu 5) Ja dass kann man. Bedingung für die Nullstelle eines Bruches ist, dass der Zähler Null wird. Der ist hier -2 also niemals null.

wasalam

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;)

:D

 

Zu 5) Dass die Funktion keine Nullstelle/gemeinsamen Punkt mit der x-Achse (bedeutete dasselbe) hat, siehst du sofort: Denn damit ein Bruch 0 werden kann, muss der Zähler 0 werden, der ist bei dir aber -2, hängt also nicht von x ab, daher musst du dir darum keine Gedanken machen.

 

Noch Anmerkung zu 1): Wenn einen Polynomfunktion f die Nullstelle z hat, dann kann man sie darstellen als f(x)=(x-z)*r(x) wobei r ein Restpolynom ist, welches vom Grad kleiner ist als f. Wie schon gesagt wurde, machst du das, um den Grad der Funktion zu verringern, damit du deine "p-q-Formel" anwenden kann (die geht ja nur für quadratische Polynome). Zwar gibt es auch analoge Formeln für Funktionen 3. und 4. Grades, die kommen aber meistens in der Schule nicht vor und sind auch nicht sehr handlich.

 

WS

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Salam,

Noch eine Anmerkung zu meiner Aussage von 4)

Die Umkehrung meiner Aussage gilt nicht.

Nur weil zwei Funktionen gegen Unendlich konvergieren,muss die Differenz nicht gegen 0 konvergieren

(beispiel f(x)=x^2-x konvergiert nicht gegen null)

 

salam ;)

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;)

Assalam Alaikoum,

 

4) limx->co (f(x) –x)

- Definition von f(x)

=
lim
x->co
[(x
2
-1)/x] - x

- x = x
2
/x

=
lim
x->co
[(x
2
-1)/x
- x
2
/x]

- Zusammenfassen

=
lim
x->co
[(x
2
- 1 -
x
2
)/x]

- Zusammenfassen

=
lim
x->co
-1/x

- Ersetzen

= -1/
co

= 0

Wassalam

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;)

 

ersteinmal VIELEN DANK!

 

->habe dennoch leider noch fragen......

 

zu 1)

Was ich halt vor allem nicht verstehen kann, ist was GENAU das was bei der Polynomdivision entsteht zu bedeuten hat..das ist das gekürzte..gut..aber von was denn..vom zähler? Nenner?

 

Wieso gibt es hier bei dieser aufgabe keine Nullstelle?? *arghh*

 

 

2) ist soweit ich sehe noch nichts da

 

3)Und wenn ich jetzt den gemeinsamen Nenner bilde.muss ich dann (x-1) einzeln mit 3x und extra mit -2 malnehmen??? (bin leicht verwirrt…)

 

4)was ist „co“ ?

 

es tut mir Leid, aber ich verstehe das einfach nicht.

 

was bringt mit denn genau lim ( f(x)-x) ? den grenzwert ? ich denk nicht, da sonst nur lim f(x) gereicht hat….

 

 

5)Und bei anderen Brüchen? Also wenn im Zähler ein x stehen würde, wie sehe ich dann ob es die x-Achse schneidet..also wenn es eine Nullstelle hat?

 

WS

 

 

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5) Zu musst immer nur die Nullstellen des Zählers (immerim Definitionsbereich) suchen, die sind dann automatisch auch Nullstellen des ganzen Bruches "Ein Bruch verschwindet genau dann, wenn sein Zähler verschwindet".

 

Zu 2) Für die Polstellen suchst du erstmal die Nullstellen des Nenners, in deinem Fall gibt es solche nicht, also auch keine Polstellen. Das "D=R\{-2}" bedeutet, dass die Stelle -2 nicht im Definitionsbereich liegt, weil sonst der Nenner in der ursprünglichen Form "x^3-8" verschwinden würde.

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;)

Assalam Alaikoum

 

nochmal zu 4)

 

lim(f(x)-x) berechnet die asymptotische Nähe der Funktion f(x) zur Gerade "g(x)=x". Wenn der Grenzwert 0 ist heißt das dass die Funktion f(x) asymptotisch sich genauso verhält wie die Gerade "g(x) = x"

 

Wassalam

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;)

Assalam Alaikoum

 

nochmal zu 4)

 

lim(f(x)-x) berechnet die asymptotische Nähe der Funktion f(x) zur Gerade "g(x)=x". Wenn der Grenzwert 0 ist heißt das dass die Funktion f(x) asymptotisch sich genauso verhält wie die Gerade "g(x) = x"

 

Wassalam

 

Salam,

Sprich, beide Funktionen haben den gleichen Grenzwert.

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;)

was ich immer noch nicht verstehe:

 

zu 1)

a) ist das nun vertauscht? oder stimmt es so? also wie scho gesagt f(x) war (x+2)/(x^3 +8) und die polynomdivision wurde anders herum unternommen, sprich : (x^3 +8)/ (x+2)

 

b)da steht, dass x= -2 doch keine Nullstelle ist, heißt das, dass nur im GEKÜRZTEN Bruch f(x) gleich null gestellt wird?

 

4) und 5) geb ich auf.

 

also wer kann mir bitte noch(mal) bei 1) weiterhelfen?

 

ws

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